Problema

Se seleccionan tres pelotas de una caja que contiene 10. El orden de selección no es importante. ¿Cuántos eventos simples hay en el espacio muestral?

Conceptos clave

• Combinación: Selección donde el orden no importa.
• Fórmula de combinación: Al seleccionar $r$ objetos de $n$ objetos, el número de combinaciones es $C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
• Espacio muestral: El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Solución

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Como el orden de selección no es importante (por ejemplo, seleccionar las pelotas 1, 2 y 3 se considera el mismo evento que seleccionar 3, 2 y 1), debemos utilizar la fórmula de combinaciones:

$C_n^r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

En este problema:

• $n = 10$ (número total de pelotas)
• $r = 3$ (número de pelotas a seleccionar)

Sustituyendo estos valores en la fórmula:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}$

Podemos simplificar esta expresión:

$\frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3 \times 2 \times 1 \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$

Por lo tanto, hay 120 eventos simples en el espacio muestral cuando se seleccionan 3 pelotas de una caja que contiene 10 pelotas, sin importar el orden.

Aplicaciones

Este tipo de problemas tiene aplicaciones en diversos campos:

• Loterías y sorteos donde el orden no importa
• Análisis de manos en juegos de cartas como el póker
• Selección de muestras en control de calidad
• Formación de comités o equipos de trabajo
• Cálculo de probabilidades en experimentos aleatorios

Fórmulas relacionadas

• Regla del producto: $n \times m$ (para eventos secuenciales)
• Permutación (cuando el orden sí importa): $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$
• Combinación con repetición: $C(n+r-1,r)$